On Binomial Identities in Arbitrary Bases

We extend the digital binomial identity as given by Nguyen el al. to an identity in an arbitrary base $b$, by introducing the $b-$ary binomial coefficients. We then study the properties of these coefficients such as orthogonality, a link to Lucas' theorem and the corresponding $b-$ary Pascal triangles

A Symbolic Approach to Some Indentities for Bernoulli-Barnes Polynomials

A symbolic method is used to establish some properties of the Bernoulli-Barnes polynomials.Comment: 12 page

The Zagier modification of Bernoulli numbers and a polynomial extension. Part I

The modified B_{n}^{*} = \sum_{r=0}^{n} \binom{n+r}{2r} \frac{B_{r}}{n+r}, \quad n > 0 introduced by D. Zagier in 1998 are extended to the polynomial case by replacing $B_{r}$ by the Bernoulli polynomials $B_{r}(x)$. Properties of these new polynomials are established using the umbral method as well as classical techniques. The values of $x$ that yield periodic subsequences $B_{2n+1}^{*}(x)$ are classified. The strange 6-periodicity of $B_{2n+1}^{*}$, established by Zagier, is explained by exhibiting a decomposition of this sequence as the sum of two parts with periods 2 and 3, respectively. Similar results for modifications of Euler numbers are stated.Comment: 35 pages, Submitted for publicatio

Forme entropique du principe d'incertitude et cas d'égalité asymptotique

Dans cet article nous nous intéressons à la généralisation entropique du principe d'incertitude d'Heisenberg et à ses cas d'égalité. Le principe d'Heisenberg bornant le produit des variances d'un vecteur aléatoire et de son vecteur conjugué, n'a de sens que si les variances existent. Nous rappelons dans cet article les version entropiques (au sens de Rényi) de ce principe, permettant de s'affranchir de l'existence des variances. Comme pour le principe d'Heisenberg, en dimension finie la borne de l'inégalité entropique est atteinte uniquement dans le cas gaussien. L'objectif de ce travail est alors d'identifier les cas non-gaussiens d'égalité dans cette inégalité, pour des vecteurs dont la densité de probabilité est à symétrie elliptique et dont la dimension tend vers l'infini. Nous montrons que l'égalité est asymptotiquement atteinte dans de nombreux cas de mélanges d'échelle gaussiens

The finite Fourier transform of classical polynomials

The finite Fourier transform of a family of orthogonal polynomials $A_{n}(x)$, is the usual transform of the polynomial extended by $0$ outside their natural domain. Explicit expressions are given for the Legendre, Jacobi, Gegenbauer and Chebyshev families